幂函数求导练习题 - 掌握指数法则的应用
求下列函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = x^7 \)
使用幂函数求导法则：\( y = x^n \) 的导数为 \( nx^{n-1} \)
这里 \( n = 7 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 7x^{7-1} = 7x^6 \)
\( y = 2x^4 \)
使用幂函数求导法则：\( y = ax^n \) 的导数为 \( anx^{n-1} \)
这里 \( a = 2 \)，\( n = 4 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 2 \times 4x^{4-1} = 8x^3 \)
\( y = \frac{1}{x^3} \)（转化为 \( x^{-3} \)）
先转化为负指数幂：\( y = x^{-3} \)
使用幂函数求导法则：\( \frac{dy}{dx} = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \)
\( y = \sqrt[3]{x} \)（转化为 \( x^{\frac{1}{3}} \)）
先转化为分数指数幂：\( y = x^{\frac{1}{3}} \)
使用幂函数求导法则：\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
求下列函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = 5x^{-2} \)
使用幂函数求导法则：\( y = ax^n \) 的导数为 \( anx^{n-1} \)
这里 \( a = 5 \)，\( n = -2 \)，所以 \( \frac{dy}{dx} = 5 \times (-2)x^{-2-1} = -10x^{-3} = -\frac{10}{x^3} \)
\( y = \frac{2x^5}{3} \)
这是 \( y = \frac{2}{3}x^5 \) 的形式，使用幂函数求导法则：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \times 5x^{5-1} = \frac{10}{3}x^4 \)
\( y = 4\sqrt{x^5} \)（转化为 \( 4x^{\frac{5}{2}} \)）
先转化为分数指数幂：\( y = 4x^{\frac{5}{2}} \)
使用幂函数求导法则：\( \frac{dy}{dx} = 4 \times \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = 10x^{\frac{3}{2}} = 10\sqrt{x^3} \)
\( y = \frac{3}{x^4} \)（转化为 \( 3x^{-4} \)）
先转化为负指数幂：\( y = 3x^{-4} \)
使用幂函数求导法则：\( \frac{dy}{dx} = 3 \times (-4)x^{-4-1} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5} \)
求曲线在指定点的梯度（导数在该点的值）：
曲线 \( y = 2x^3 \) 在 \( x = 3 \) 处的梯度
先求导函数：\( \frac{dy}{dx} = 6x^2 \)
再代入 \( x = 3 \)：\( 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54 \)
曲线 \( y = \frac{5}{\sqrt{x^3}} \) 在 \( x = 4 \) 处的梯度（先转化为 \( 5x^{-\frac{3}{2}} \)）
先转化为分数指数幂：\( y = 5x^{-\frac{3}{2}} \)
求导：\( \frac{dy}{dx} = 5 \times (-\frac{3}{2})x^{-\frac{3}{2}-1} = -\frac{15}{2}x^{-\frac{5}{2}} \)
代入 \( x = 4 \)：\( -\frac{15}{2} \times 4^{-\frac{5}{2}} = -\frac{15}{2} \times \frac{1}{32} = -\frac{15}{64} \)
求下列复合幂函数的导数 \( \frac{dy}{dx} \)：
\( y = (2x^3 + 1)^4 \)
这是一个复合函数，使用链式法则：
设 \( u = 2x^3 + 1 \)，则 \( y = u^4 \)
\( \frac{dy}{du} = 4u^3 \)，\( \frac{du}{dx} = 6x^2 \)
所以 \( \frac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 6x^2 = 4(2x^3 + 1)^3 \cdot 6x^2 = 24x^2(2x^3 + 1)^3 \)
\( y = \frac{1}{(3x^2 - 2)^5} \)
这是一个复合函数，使用链式法则：
设 \( u = 3x^2 - 2 \)，则 \( y = u^{-5} \)
\( \frac{dy}{du} = -5u^{-6} \)，\( \frac{du}{dx} = 6x \)
所以 \( \frac{dy}{dx} = -5u^{-6} \cdot 6x = -30x u^{-6} = -30x (3x^2 - 2)^{-6} \)
幂函数求导的关键是"将非标准形式（根式、分式）转化为 \( ax^n \)，再用'指数乘系数，指数减1'"。核心是熟练应用幂函数求导规则，包括基本幂函数、复合幂函数和在特定点的梯度计算。
核心法则：对于任何实数 \( n \) 和常数 \( a \)，\( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \)
掌握幂函数求导是微积分的基础，它为求解更复杂的函数导数提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力，为后续学习复合函数求导做好准备。